Gauss sabiti

Matematikte, Gauss sabiti, G ile gösterilir,1 ve karekök 2 aritmetik-geometrik ortalama'sının tersi olarak tanımlanır.

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots }$

sabit 30 Mayıs, 1799 da keşfetmiş olup Carl Friedrich Gauss'un adına atfedilmiştir.

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

so that

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\beta ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}$

burada β beta fonksiyonu'dur.

Diğer sabitlerle ilişkisi

Gama fonksiyonu, Gauss sabitinin kapalı formu olarak kullanılırsa değişkene 1/4 verildiğinde :

${\displaystyle \Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

ve böylece π ve Γ(1/4) cebirsel olmayan sayılardır, Gauss sabiti aşkın sayıdır.

Lemniscate sabiti

Gauss sabiti lemniskat sabitinin tanımında kullanılır, birincisi:

${\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}$

ve ikinci sabit:

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}$

Bununla bir lemniskat'ın yay uzunluğu bulunur. .

Diğer formüller

Jacobi teta fonksiyonu'nun bir formülünün terimlerinin içerisinde ${\displaystyle G}$ verilir.

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}$

gibi hızlı yakınsak serisi

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

sonsuz çıkarım için

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

Gauss's sabiti için sürekli kesir'de [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].sayıları vardır.

Kaynakça

• Eric W. Weisstein, Constant.html Gauss's Constant (MathWorld)
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS