Định lý tang

Hình 1 - Tam giác với ba cạnh a, b, c và ba góc đối diện α, β, γ
Lượng giác
Tham khảo
Định lý
Vi tích phân
  • x
  • t
  • s

Trong lượng giác, định lý tan[1] biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tan của hai góc đối diện với hai cạnh đó.

Với các ký hiệu trong hình bên, định lý tan được biểu diễn:

a − b a + b = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}

Chứng minh

Chứng minh định lý tan dựa vào định lý sin:

a sin ⁡ α = b sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}

Đặt

d = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β , {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}

ta có

a = d sin ⁡ α  và  b = d sin ⁡ β . {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ và }}b=d\sin \beta .\,}

Do đó

a − b a + b = d sin ⁡ α − d sin ⁡ β d sin ⁡ α + d sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}

Dùng công thức lượng giác

sin ⁡ ( α ) ± sin ⁡ ( β ) = 2 sin ⁡ ( α ± β 2 ) cos ⁡ ( α ∓ β 2 ) , {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}

ta có

a − b a + b = 2 sin ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 ( α + β ) 2 sin ⁡ 1 2 ( α + β ) cos ⁡ 1 2 ( α − β ) = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }

Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau

tan ⁡ ( α ± β 2 ) = sin ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}

(xem công thức tang góc chia đôi).

Ứng dụng

Từ công thức

tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] = a − b a + b tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] = a − b a + b cot ⁡ [ γ 2 ] {\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]}

ta tính được α − β {\displaystyle \alpha -\beta } nếu biết hai cạnh a, b của một tam giác và góc xen giữa γ {\displaystyle \gamma } hai cạnh đó. Biết α + β = 180 ∘ − γ {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma } ta tính được α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } . Cạnh thứ ba c {\displaystyle c} có thể tính bằng Định lý sin.

Xem thêm

Tham khảo

  1. ^ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.