Difracció de Fresnel

Geometria de la difracció, mostrant els orígens de l'obertura (o objecte difractor) i de la imatge amb un sistema de coordenades.

La difracció de Fresnel o també difracció del camp proper és un patró de difracció d'una ona electromagnètica obtinguda molt prop de l'objecte causant de la difracció (sovint una font o obertura). Més precisament, es pot definir com el fenomen de difracció causat quan el nombre de Fresnel és gran i per tant no pot ser usada l'aproximació Fraunhofer (difracció de raigs paral·lels).

Història

El físic francès Augustin Jean Fresnel (1788 – 1827) investiga els fenòmens de la llum en el camp de l'òptica, i deriva aquest principi de difracció en l'any 1816.

La integral de Difracció de Fresnel

El patró de difracció del camp elèctric en el punt (x, y, z) està donat per:

E ( x , y , z ) = − i λ ∬ E ( x ′ , y ′ , 0 ) e i k r r cos ⁡ θ d x ′ d y ′ {\displaystyle E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint {E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}\cos \theta }dx'dy'}

on

r = ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}
i {\displaystyle i\,} és la unitat imaginària,

i

cos ⁡ θ = z r {\displaystyle \cos \theta ={\frac {z}{r}}} és el cosinus de l'angle entre z i r.

La solució analítica d'aquesta integral és impossible per a tot excepte per a les geometries de difracció més simples. Per tant aquesta integral pot calcular-se numèricament.

La Difracció de Fresnel

La condició de validesa és una mica feble i permet que els paràmetres de dimensió de l'obstacle tinguin valors comparables: l'obertura és petita comparada amb el camí òptic. D'aquesta forma és interessant investigar en el comportament del camp elèctric només en una petita porció d'àrea propera a l'origen de la font lluminosa, és a dir per a valors de x i y molt més petits que z, en aquest cas es pot assumir que θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} , això ve a significar que: cos ⁡ θ ≈ 1 {\displaystyle \cos \theta \approx 1} .

D'aquesta forma, igual que la difracció de Fraunhofer, la difacción de Fresnel ocorre a causa de la curvatura del front d'ona. Per a la difracció Fresnel el camp elèctric en un punt situat en (x, y, z) està donat per:

E ( x , y , z ) = − i λ e i k z z ∬ E ( x ′ , y ′ , 0 ) e i k 2 z [ ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 ] d x ′ d y ′ {\displaystyle E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{ikz} \over z}\iint E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}

Aquesta és la integral de difracció de Fresnel; i ve a significar que si l'aproximació de Fresnel és vàlida, el camp propagat és una ona esfèrica, originada en l'obertura i movent-se al llarg de l'eix Z. La integral modula l'amplitud i la fase d'una ona esfèrica. La solució analítica d'aquesta expressió és només possible en casos molt rars. Per a casos molt simples, en els quals hi ha distàncies molts més grans ha de veure's la difracció de Fraunhofer.

Vegeu també

Referències

Bibliografia

  • Goodman, Joseph W.. Introduction to Fourier optics. Nova York: McGraw-Hill, 1996. ISBN 0-07-024254-2. 
Bases d'informació