Hyperbola

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce ${\displaystyle y=1/x}$ v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

${\displaystyle \|F_{1}X\|-\|F_{2}X\|=2a\,\!}$

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek ${\displaystyle F_{1}}$ a ${\displaystyle F_{2}}$ konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis hyperboly:

Pokud ${\displaystyle a=b}$, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

• Hlavní osa ${\displaystyle o_{1}}$ hyperboly rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$

Středová rovnice:

${\displaystyle {(x-m)^{2} \over a^{2}}-{(y-n)^{2} \over b^{2}}=1\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!}$

Rovnice asymptot:

${\displaystyle y-n=\pm {b \over a}(x-m)\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle {(x-m)(x_{0}-m) \over a^{2}}-{(y-n)(y_{0}-n) \over b^{2}}=1\,\!}$

• Hlavní osa ${\displaystyle o_{1}}$ hyperboly rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$

Středová rovnice:

${\displaystyle {(y-n)^{2} \over a^{2}}-{(x-m)^{2} \over b^{2}}=1\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle -Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!}$

Rovnice asymptot:

${\displaystyle y-n=\pm {a \over b}(x-m)\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle {(y-n)(y_{0}-n) \over a^{2}}-{(x-m)(x_{0}-m) \over b^{2}}=1\,\!}$

• Asymptoty ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ rovnoběžné s osami ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$

Středová rovnice:

${\displaystyle (x-m)(y-n)=c\,\!}$

${\displaystyle a=b={\sqrt {2|c|}}\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle xy+Ax+By+C=0\,\!}$

Rovnice asymptot:

${\displaystyle x=m,y=n\,\!}$

Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

${\displaystyle 2x^{2}+4x-y^{2}+3y-{17 \over 4}=0\,\!}$

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.

${\displaystyle 2\left[{(x+1)}^{2}-1\right]-\left[{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}-{9 \over 4}\right]={17 \over 4}\,\!}$

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

${\displaystyle 2(x+1)^{2}-2-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}+{9 \over 4}={17 \over 4}\,\!}$

${\displaystyle 2(x+1)^{2}-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}=4\,\!}$

${\displaystyle {(x+1)^{2} \over 2}-{{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2} \over 4}=1\,\!}$

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa ${\displaystyle o_{1}}$ je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$.
${\displaystyle S\left[-1,{3 \over 2}\right]\,\!}$, ${\displaystyle a={\sqrt {2}}\,\!}$, ${\displaystyle b=2\,\!}$, ${\displaystyle e={\sqrt {6}}\,\!}$, ${\displaystyle p_{1}:y={\sqrt {2}}x+{3+2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}$, ${\displaystyle p_{2}:y=-{\sqrt {2}}x+{3-2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}$

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant ${\displaystyle D}$ je:

• D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
• D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku
• D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

• výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
• výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
• výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

${\displaystyle r^{2}={a^{2}b^{2} \over b^{2}\cos ^{2}\theta -a^{2}\sin ^{2}\theta }\,\!}$

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

${\displaystyle r={a(\epsilon ^{2}-1) \over 1-\epsilon \cos \theta }\,\!}$

Literatura

• Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 102–103, 118–121 a 179–181
• Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 116–117

Související články

• Geometrický útvar
• Křivka
• Parabola (matematika)
• Elipsa
• Kružnice
• Mocninná křivka

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbola na Wikimedia Commons
• Vyčerpávající popis hyperboly