Rovnice

Rovnice je v matematice vztah rovnosti dvou výrazů, které obsahují jednu nebo více proměnných. Kořen rovnice je libovolná hodnota proměnné (příp. sada hodnot proměnných), pro které je rovnost splněna.

Formální definice

Uvažujme dvě funkce $f(x),g(x)$ , které jsou definovány na nějaké množině $D$ , pak nalezení všech $x\in D$ , která splňují rovnost

f(x)=g(x)

se nazývá rovnicí o jedné neznámé $x$ . Funkce $f(x)$ se nazývá levá strana rovnice a $g(x)$ se nazývá pravá strana rovnice.

Kořeny rovnice

Související informace naleznete také v článku Kořen (matematika).

Každé číslo $x_{0}\in D$ , které vyhovuje vztahu $f(x_{0})=g(x_{0})$ , se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v $D$ , nazývá se řešitelná v $D$ , pokud žádný kořen v $D$ nemá, říkáme, že rovnice je v $D$ neřešitelná. Pokud je rovnice $f(x)=g(x)$ splněna pro všechna $x\in D$ , jde o identitu, což značíme

f(x)\equiv g(x)

Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení.

V mnoha případech je požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení přímo součástí zadání problému.

Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

y^{\prime }=y

y=0

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

y=\mathrm {e} ^{x}

což je exponenciální funkce.

Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ pro $n>2$ . Triviálním řešením by v tomto případě bylo $a=b=c=0$ , což platí pro libovolné $n$ . Podobně je triviálním řešením $a=1,b=0,c=1$ . Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice $f_{1}(x)=g_{1}(x),f_{2}(x)=g_{2}(x)$ , pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní (rovnocenné, stejné).

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. $f(x)+a=g(x)+a$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí $f(x)=g(x)$
vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. $af(x)=ag(x)$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí $f(x)=g(x)$

Rovnici $f(x)=g(x)$ je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

F(x)=f(x)-g(x)=0

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých

Rovnice o $n$ neznámých má tvar

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámé $F(x)=0$ , přičemž řešením rovnice o $n$ neznámých jsou n-tice $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ .

Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované polynomická rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici $n$ -tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0

kde levou stranu rovnice tvoří polynom $n$ -tého stupně s $a_{n}\neq 0$ , přičemž se předpokládá, že $n\geq 1$ . Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice $(n=1)$ , kvadratická rovnice $(n=2)$ , kubická rovnice $(n=3)$ a kvartická rovnice $(n=4)$ . Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně $n\geq 1$ alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.

Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. $3x^{2}y+3x^{3}+2y^{3}-5xy^{2}=0$ je homogenní rovnice třetího stupně.