Hyperbolický kosinus

Hyperbolický kosinus je sudá hyperbolická funkce.

Definice

$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$$

Vlastnosti

${\displaystyle D{\bigl (}\cosh x{\bigr )}=\mathbb {R} }$ – definiční obor funkce ${\displaystyle \cosh x}$

${\displaystyle H{\Bigl (}\cosh x{\Bigr )}=\langle 1,\infty {\bigr )}}$ – obor hodnot funkce ${\displaystyle \cosh x}$

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$

důkaz tohoto tvrzení ${\displaystyle \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}}-{\frac {e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}={\frac {4}{4}}=1}$, kde ${\displaystyle e}$ je Eulerovo číslo

${\displaystyle 1-\tanh ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}}$, kde ${\displaystyle \tanh x}$ je hyperbolický tangens

${\displaystyle \cosh 0=1}$

${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)=\cos(-ix)}$, kde ${\displaystyle i}$ je imaginární jednotka

${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x}$ derivace hyperbolického kosinu podle ${\displaystyle x}$, kde ${\displaystyle \sinh x}$ je hyperbolický sinus

${\displaystyle \int \cosh x\ dx=\sinh x+C}$, kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta

${\displaystyle \cosh x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

Inverzní funkcí k hyperbolickému kosinu je hyperbolometrická funkce ${\displaystyle \operatorname {argcosh} \,x}$ (argument hyperbolického kosinu).

Graf

Pro ${\displaystyle x<0}$ je ${\displaystyle \cosh x}$ klesající a pro ${\displaystyle x>0}$ rostoucí.
Grafem hyperbolického kosinu je křivka známá jako řetězovka.