Hyperbolický tangens

ikona
Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.
Graf hyperbolického tangens

Hyperbolický tangens (tangens hyperbolicus) je hyperbolická funkce. Značí se tanh {\displaystyle \tanh } , dříve tgh {\displaystyle \operatorname {tgh} } .

Definice

Hyperbolický tangens je definován jako podíl hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu:

tanh x = sinh x cosh x = e x e x e x + e x = e 2 x 1 e 2 x + 1 = 1 e 2 x 1 + e 2 x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}} .

Definice platí i pro komplexní argument. Pomocí ryze imaginárního úhlu jej lze definovat jako

tanh x = i tan i x {\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!} , kde  i {\displaystyle {\rm {i}}}  je imaginární jednotka.

Vlastnosti

  • tanh {\displaystyle \tanh } je rostoucí funkce
D ( tanh ) = R {\displaystyle D{\bigl (}\tanh {\bigr )}=\mathbb {R} }
  • Obor hodnot funkce
H ( tanh ) = ( 1 , + 1 ) {\displaystyle H{\bigl (}\tanh {\bigr )}={\bigl (}-1,+1{\bigr )}}
  • Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka
tanh ( x ) = tanh x . {\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x.}
  • Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:
tanh ( x + y ) = tanh ( x ) + tanh ( y ) 1 + tanh ( x ) tanh ( y ) {\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot \tanh(y)}}}
tanh ( 2 x ) = 2 tanh ( x ) 1 + tanh 2 ( x ) {\displaystyle \tanh(2x)={\frac {2\tanh(x)}{1+\tanh ^{2}(x)}}}
tanh x 2 = 1 2 ( cosh ( x ) 1 ) {\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh(x)-1)}}}
artanh ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x 1 x ) {\displaystyle {\mbox{artanh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)} , kde | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
  • Derivace hyperbolického tangens:
d d x tanh x = 1 tanh 2 x = sech 2 x = 1 / cosh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
tanh x d x = ln ( cosh x ) {\displaystyle \int \tanh xdx=\ln(\cosh x)} .

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolický tangens na Wikimedia Commons