Snellův zákon

Snellův zákon patří k základním zákonům popisujícím šíření vlnění, které přechází (tzv. lomem) přes rozhraní z jednoho prostředí do jiného prostředí, kde se skokově mění optické vlastnosti prostředí. Např. voda – vzduch, sklo – vzduch.

Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecněji elektromagnetického záření na rovinném rozhraní.

Zákon v 10. století objevil arabský matematik Ibn Sahl. Nese jméno jeho znovuobjevitele, nizozemského matematika Willebrorda Snellia.

Zjednodušenou formulací, dobře odpovídající realitě, je populární rčení "Hůl do vody ponořená, zdá se býti zalomená".^[1]

Formulace zákona

Uvažujme dvě různá prostředí, jejichž rozhraní je rovinné. Jsou-li indexy lomu těchto dvou prostředí n₁ resp. n₂ a označíme-li úhly dopadajícího resp. lomeného svazku α₁ resp. α₂ (měřeno ke kolmici rozhraní), pak podle Snellova zákona platí

${\displaystyle n_{1}\sin \alpha _{1}=n_{2}\sin \alpha _{2}}$,

nebo také v jiném tvaru (v₁ a v₂ jsou rychlosti šíření vlnění v daném prostředí)

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$.

Úhly se vždy měří od normály, tj. při kolmém dopadu je ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=0}$. Paprsky se šíří vždy přímočaře.

Odvození

Odvození Snellova zákona lze provést pomocí dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní dvou prostředí.

V místě dopadajícího paprsku vlnění vztyčíme kolmici, tzv. kolmici dopadu (obecně jde o normálu k ploše rozhraní). Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu. Rovina, která je určena kolmicí dopadu a paprskem dopadajícího vlnění, se nazývá rovina dopadu.

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá z prostředí 1 na rozhraní s prostředím 2 pod úhlem dopadu ${\displaystyle \alpha _{1}}$, dospěje nejdříve do bodu ${\displaystyle A}$ a postupně do dalších bodů až po bod ${\displaystyle C}$. Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí 1 šířilo fázovou rychlostí ${\displaystyle v_{1}}$, se bude v prostředí 2 šířit fázovou rychlostí ${\displaystyle v_{2}}$, která je obecně různá od rychlosti ${\displaystyle v_{1}}$ a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou ${\displaystyle AB}$, čelo lomené vlny je představováno úsečkou ${\displaystyle CD}$. Pro poměr sinů úhlu dopadu ${\displaystyle \alpha _{1}}$ a lomu ${\displaystyle \alpha _{2}}$ platí podle obrázku vztah

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {\frac {|BC|}{|AC|}}{\frac {|AD|}{|AC|}}}={\frac {|BC|}{|AD|}}={\frac {v_{1}t}{v_{2}t}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}=n_{21}}$,

kde ${\displaystyle |...|}$ označuje délku úsečky, ${\displaystyle v_{1}}$ a ${\displaystyle v_{2}}$ jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí 1 a 2, ${\displaystyle v_{1}t}$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí 1 za čas ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle v_{2}t}$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí za čas ${\displaystyle t}$ v prostředí 2, ${\displaystyle n_{1}}$ a ${\displaystyle n_{2}}$ jsou absolutní indexy lomu v prostředí 1 a 2 a ${\displaystyle n_{21}}$ je relativní index lomu.

Úhel ${\displaystyle \alpha _{2}}$ se nazývá úhel lomu. Rovina určená kolmicí dopadu a lomeným paprskem se nazývá rovina lomu. Podle Huygensova principu splývá rovina lomu s rovinou dopadu.

Slovně lze Snellův zákon formulovat takto:

Poměr sinů úhlu dopadu a lomu je pro určitá dvě prostředí stálý a rovný poměru velikosti rychlosti vlnění v jednotlivých prostředích.

Snellův zákon platí nejen pro rovinné vlnění, ale v obecném případě pro libovolné vlnění dopadající na rozhraní libovolného tvaru.

Důsledky

Ze Snellova zákona plyne, vyjádřeno slovy, že:

• Při šíření záření z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího prostředí se paprsky lámou směrem ke kolmici (tzv. lom ke kolmici).
• Při šíření záření z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího prostředí se paprsky lámou směrem od kolmice (tzv. lom od kolmice).

Opticky hustším, resp. řidším prostředím je míněno prostředí s vyšším, resp. nižším indexem lomu.

• Pokud fázová rychlost závisí na frekvenci vlnění (viz disperze (vlnění)), pak pro složené vlnění dochází při lomu k závislosti úhlu lomu na frekvenci. To se projevuje např. v optice rozkladem světla na jednotlivé barevné složky (v přírodě se tento jev projevuje např. vznikem duhy).

Totální odraz

Šíří-li se paprsky z opticky hustšího prostředí (tedy v případě lomu od kolmice) může nastat, že úhel lomu je roven pravému úhlu, tzn. ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\pi }{2}}}$. V takovém případě je ${\displaystyle \sin \alpha _{2}=1}$, a zákon lomu má tvar

${\displaystyle \sin \alpha _{\rm {m}}=\sin \alpha _{1}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{\rm {m}}}$ označuje tzv. mezní úhel. Mezní úhel je největší úhel dopadu, při kterém ještě nastává lom vlnění. Je-li úhel dopadu větší než mezní úhel, tzn. ${\displaystyle \alpha _{1}>\alpha _{\rm {m}}}$, dochází k tzv. totálnímu (úplnému) odrazu, při kterém se vlnění do druhého prostředí vůbec nedostane a odráží se zpět do prostředí původního.

Hodnotu mezního úhlu lze určit ze vztahu

${\displaystyle \alpha _{\rm {m}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}$

Odkazy

Reference

Související články

• Brewsterův úhel
• Disperze vlnění
• Disperze světla
• Evanescentní vlna
• Huygensův princip
• Lom vlnění
• Fresnelovy rovnice

Externí odkazy

• en: Animace Snellova zákona
• cz: Animace Snellova zákona

• Fuka, Havelka: Optika Archivováno 7. 1. 2007 na Wayback Machine.
• Havelka: Geometrická optika I Archivováno 7. 1. 2007 na Wayback Machine.
• Vlnové vlastnosti světla: http://www.sweb.cz/radek.jandora/f19.htm Archivováno 30. 1. 2009 na Wayback Machine.