Clara Burel ha vinto 4 titoli in singolare nel circuito ITF in carriera. In singolare ha raggiunto la 51ª posizione mondiale il 21 luglio 2023, mentre in doppio la 246ª posizione mondiale il 9 maggio 2022.
Durante la sua carriera da junior, ha raggiunto la prima posizione mondiale nel ranking di singolare. Nel 2018 ha raggiunto le finali agli Australian Open e agli US Open e ai III Giochi olimpici giovanili ha conquistato la medaglia d'argento nel singolare, perdendo contro la slovena Kaja Juvan, e la medaglia di bronzo nel doppio misto con il connazionale Hugo Gaston.
Agli Open di Francia 2020 diventa la tennista francese più giovane da Alizé Cornet nel 2008 a raggiungere il terzo turno del torneo, sconfitta dalla cinese Zhang Shuai.
Nel 2021 ha raggiunto la sua prima finale in carriera del circuito maggiore al Ladies Open Lausanne, persa contro la slovena Tamara Zidanšek in tre set. Due anni dopo raggiunge la sua seconda finale della carriera sempre a Losanna, dove anche in questa occasione ne esce sconfitta sempre in tre set dall'italiana Elisabetta Cocciaretto.