| Ten artykuł należy dopracować: wykresy. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
rozkład χ
Gęstość prawdopodobieństwa
|
Parametry | A, B, ν |
Gęstość prawdopodobieństwa | |
Dystrybuanta | |
Wartość oczekiwana (średnia) | |
Mediana | nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych |
Moda | |
Wariancja | |
Współczynnik skośności | |
Kurtoza |
|
Rozkład chi (zapisywany jako rozkład χ) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:
![{\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e44002f504013dd4259c39666213a1cb5515b3)
gdzie
to parametry rozkładu, zaś Γ oznacza funkcję gamma.
Parametr
nazywany jest liczbą stopni swobody rozkładu, musi być liczbą większą od 0.
Dystrybuanta tego rozkładu ma postać:
![{\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9095a598e6c7f12bd778ea83a8c03946026ef9)
Własności:
- Jeśli zmienna losowa
ma rozkład chi-kwadrat, to zmienna losowa
ma rozkład chi. - Mediana nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, natomiast skośność i kurtoza wyrażają się wzorami:
skośność:
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce69ba66d5c37168808887c356009f20206ca37a)
kurtoza:
![{\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38cae09627de3f2065b670e153e31bea417c0c5)
![{\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2402e534ef694a1d0d26af95abc92d91ff0101b)
Specjalne przypadki:
– rozkład półnormalny
– rozkład Rayleigha
– rozkład Maxwella
Zobacz też
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe | |
---|
Rozkłady dyskretne | |
---|