Rozkład chi kwadrat

Rozkład chi kwadrat
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry

k > 0 {\displaystyle k>0} stopni swobody

Nośnik

x ∈ [ 0 ; + ∞ ) {\displaystyle x\in [0;+\infty )}

Gęstość prawdopodobieństwa

( 1 / 2 ) k / 2 Γ ( k / 2 ) x k / 2 − 1 e − x / 2 {\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}

Dystrybuanta

γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}

Wartość oczekiwana (średnia)

k {\displaystyle k}

Mediana

około k − 2 / 3 {\displaystyle k-2/3}

Moda

k − 2  dla  k ⩾ 2 {\displaystyle k-2\,{\mbox{ dla }}k\geqslant 2}

Wariancja

2 k {\displaystyle 2\,k}

Współczynnik skośności

8 / k {\displaystyle {\sqrt {8/k}}}

Kurtoza

12 / k {\displaystyle 12/k}

Entropia

k 2 + ln ⁡ ( 2 Γ ( k / 2 ) ) + {\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))+{}}
+ ( 1 − k / 2 ) ψ ( k / 2 ) {\displaystyle {}+(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}

Funkcja tworząca momenty

( 1 − 2 t ) − k / 2  dla  2 t < 1 {\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}{\mbox{ dla }}2\,t<1}

Funkcja charakterystyczna

( 1 − 2 i t ) − k / 2 {\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}

Odkrywca

Ronald Fisher

Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} ) – rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k {\displaystyle k} kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k {\displaystyle k} nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

Jeżeli ciąg niezależnych zmiennych losowych X i ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{i}\sim N(0,1)} oraz:

Y = ∑ i = 1 k ( X i ) 2 , {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{k}(X_{i})^{2},}

to:

Y ∼ χ k 2 , {\displaystyle Y\sim \chi _{k}^{2},}

czyli słownie: Zmienna losowa Y {\displaystyle Y} ma rozkład chi kwadrat o k {\displaystyle k} stopniach swobody.

Rozkład chi kwadrat ma duże znaczenie w statystyce, między innymi w teście chi-kwadrat, który wziął od niego swoją nazwę.


Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu chi kwadrat