Łączność (matematyka)

Łączność, asocjatywność^[1] – jedna z własności działań dwuargumentowych, np. niektórych działań arytmetycznych. Jest fundamentalną własnością działań w podstawowych strukturach algebraicznych, od półgrup poprzez grupy aż po pierścienie i ciała.

Definicja

Działanie dwuargumentowe ${\displaystyle \diamondsuit }$ w zbiorze ${\displaystyle S}$ nazywa się łącznym, jeżeli

${\displaystyle \forall _{a,b,c\in S}\;\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c.}$

Działanie, które nie jest łączne, nazywa się niełącznym.

Łączność działania znaczy, że kolejność wykonywania obliczeń, tzn. rozstawienie nawiasów (zgodne ze składnią) nie ma wpływu na wynik.

Np. dla dowolnych czterech argumentów ${\displaystyle a,b,c,d}$ zachodzą równości:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\big (}a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c){\big )}\;\diamondsuit \;d\\={}&{\big (}(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c{\big )}\;\diamondsuit \;d\\={}&(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d)\\={}&a\;\diamondsuit \;{\big (}b\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d){\big )}\\={}&a\;\diamondsuit \;{\big (}(b\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d{\big )}.\end{aligned}}}$

(1)

W efekcie umożliwia to notację beznawiasową, tzn. każde z powyższych pięciu wyrażeń można zapisać w postaci:

${\displaystyle a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c\;\diamondsuit \;d.}$

W wyrażeniu tym można więc wykonać najpierw działanie wskazane przez dowolny z trzech operatorów ${\displaystyle \diamondsuit }$ na sąsiadujących z nim operandach, a potem wykonywać działanie wskazane przez następny, dowolnie wybrany operator na sąsiadujących z nim operandach, itd.

Łączność w innych notacjach

• w notacji funkcyjnej:

${\displaystyle \forall _{a,b,c,d\in S}\;\;f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c),}$

• w notacji przedrostkowej (beznawiasowej):

${\displaystyle \forall _{a,b,c,d\in S}\;\;\diamondsuit \,a\,\diamondsuit \,b\,c=\diamondsuit \,\diamondsuit \,a\,b\,c,}$

• w notacji przyrostkowej (beznawiasowej):

${\displaystyle \forall _{a,b,c,d\in S}\;\;a\,b\,c\,\diamondsuit \,\diamondsuit =a\,b\,\diamondsuit \,c\,\diamondsuit ,}$

Dla powyższych trzech notacji reguła pozwalająca pomijać nawiasy w wyrażeniach z działaniem łącznym nie ma zastosowania – w pierwszej nawiasy są nieusuwalne (jest to w istocie odmiana notacji przedrostkowej), w następnych dwóch nawiasy są całkowicie zbędne, należy jedynie odpowiednio zamieniać miejscami symbole działania i ich argumentów (zob. zapis działań dwuargumentowych).

Np. wyrażenia (1) w notacji przedrostkowej mają postać

${\displaystyle {\begin{aligned}&\diamondsuit \diamondsuit a\diamondsuit bcd\\[1ex]={}&\diamondsuit \diamondsuit \diamondsuit abcd\\[1ex]={}&\diamondsuit \diamondsuit ab\diamondsuit cd\\[1ex]={}&\diamondsuit a\diamondsuit b\diamondsuit cd\\[1ex]={}&\diamondsuit a\diamondsuit \diamondsuit bcd.\end{aligned}}}$

Przykłady działań łącznych

• dodawanie i mnożenie liczb,
• suma zbiorów, przecięcie zbiorów,
• złożenie funkcji,
• dodawanie i mnożenie macierzy kwadratowych.

Działania niełączne

W notacji wrostkowej dla działania niełącznego każde dwa argumenty (także te złożone) muszą być razem z operatorem objęte parą nawiasów (z wyjątkiem oczywiście najbardziej zewnętrznej pary argumentów). W notacji tej wszystkie nawiasy są niezbędne dla określenia kolejności wykonywanych działań. Przy większej ilości argumentów wyrażenia stają się przez to nieczytelne, np.:

${\displaystyle {\big (}a\;\diamondsuit \;((b\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d){\big )}\;\diamondsuit \;(e\;\diamondsuit \;f).}$

(2)

W notacji przedrostkowej powyższe wyrażenie ma postać ${\displaystyle \diamondsuit \diamondsuit a\diamondsuit \diamondsuit bcd\diamondsuit ef,}$ w notacji przyrostkowej ${\displaystyle abc\diamondsuit d\diamondsuit \diamondsuit ef\diamondsuit \diamondsuit .}$ W obu tych notacjach łączność lub niełączność działania nie ma oczywiście większego znaczenia, bowiem mimo braku nawiasów kolejność wykonywania działań jest „zakodowana” w wyrażeniu i jest możliwa do odtworzenia dzięki regułom tworzenia takich wyrażeń. Brak nawiasów nieco upraszcza zapis i przyczynia się do zwiększenia czytelności.

Notacja wrostkowa jednostronnie łączna

Ilość nawiasów notacji wrostkowej można zmniejszyć (a tym samym nieco uprościć zapis), wprowadzając notację z łącznością jednostronną. Oznacza to wybór jednej z dwóch możliwych kolejności usuwania nawiasów w wyrażeniu:

• w lewostronnej łączności dopuszcza uproszczenie: ${\displaystyle (a\diamondsuit b)\diamondsuit c=a\diamondsuit b\diamondsuit c}$ i zakazuje się usuwania nawiasów w wyrażeniu ${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c),}$
• w prawostronnej łączności dopuszcza uproszczenie: ${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c)=a\diamondsuit b\diamondsuit c}$ i zakazuje się usuwania nawiasów w wyrażeniu ${\displaystyle (a\diamondsuit b)\diamondsuit c.}$

Oczywiście kolejność usuwania nawiasów w notacji z jednostronną łącznością jest równoznaczne z odwrotną kolejnością ich przywracania (nawiasy domyślne). Np. wyrażenie ${\displaystyle a\diamondsuit b\diamondsuit c\diamondsuit d}$

• w notacji z łącznością lewostronną jest równoznaczne z wyrażeniem ${\displaystyle {\big (}(a\diamondsuit b)\diamondsuit c{\big )}\diamondsuit d,}$ czyli działania są wykonywane od lewej;
• w notacji z łącznością prawostronną jest równoznaczne z wyrażeniem ${\displaystyle a\diamondsuit {\big (}b\diamondsuit (c\diamondsuit d){\big )},}$ czyli działania są wykonywane od prawej.

Stosując notację z lewostronną łącznością, wyrażenie (2) uprości się do postaci ${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c\diamondsuit d)\diamondsuit (e\diamondsuit f),}$ z prawostronną do postaci ${\displaystyle (a\diamondsuit (b\diamondsuit c)\diamondsuit d)\diamondsuit e\diamondsuit f.}$

Notacja z jednostronną łącznością jest więc odmianą notacji wrostkowej, w której niektóre nawiasy można pominąć. Dla każdego działania binarnego niełącznego wybór notacji z lewostronną lub prawostronną łącznością jest całkowicie dowolny i arbitralny, ale raz dokonany wybór dla danego działania musi być utrzymany dla zachowania jednoznaczności wartościowania wyrażenia. Inaczej mówiąc, działanie binarne niełączne nie jest ani lewostronnie, ani prawostronnie łączne. Stwierdzenie, że jakieś działanie jest lewo/prawostronnie łączne oznacza, że wobec tego działania stosuje się notację wrostkową odpowiednio z lewo/prawostronną łącznością.

Przykłady działań niełącznych

Najczęściej stosowana jest notacja z lewostronną łącznością (np. niełączne działania arytmetyczne), co wiąże się z powszechną praktyką zapisywania (i odczytywania) od lewej tekstu lub wyrażeń arytmetycznych, z kolejnością wprowadzania od lewej wyrażeń do kalkulatorów itd.

Przykłady działań lewostronnie łącznych

• odejmowanie jest niełączne, bo np. ${\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2;}$

dla odejmowania stosuje się domyślne notację lewostronnie łączną, tj.

${\displaystyle 5-3-2=(5-3)-2=0,}$

• dzielenie jest niełączne, bo np. ${\displaystyle 18:(6:3)\neq (18:6):3;}$

dla dzielenia stosuje się domyślne notację lewostronnie łączną, tj.

${\displaystyle 18:6:3=(18:6):3=1.}$

Przykład działania prawostronnie łącznego

• potęgowanie jest niełączne, bo np. ${\displaystyle (4^{3})^{2}\neq 4^{(3^{2})};}$

dla potęgowania stosuje się domyślnie notację prawostronnie łączną, tj.

${\displaystyle 4^{3^{2}}=4^{(3^{2})}=4^{9}=262144.}$

Inne przykłady działań niełącznych

• mnożenie w oktawach Cayleya:

dla takich struktur jak np. oktawy Cayleya nie stosuje się żadnej notacji upraszczającej stosowanie nawiasów,

• komutator w grupach i pierścieniach:

nawiasy komutatora ${\displaystyle [,]}$ pełnią rolę operatora i są nieusuwalne.

Przypisy

Bibliografia

• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38.