Distribució conjunta

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En el camp de la probabilitat, donades dues variables aleatòries ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$, la distribució conjunta de ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ és la distribució de probabilitat de la intersecció d'esdeveniments associats a ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$, és a dir, dels esdeveniments ${\displaystyle X=x}$ i ${\displaystyle Y=y}$ passant de forma simultània. En el cas de només dues variables aleatòries s'anomena una distribució bivariada, però el concepte es generalitza a qualsevol nombre de variables aleatòries.

Cas discret

Per a variables aleatòries discretes, la funció de probabilitat conjunta aquesta donada per:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {i} \ Y=y)&{}=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&{}=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y).\end{aligned}}}$

Donades aquestes probabilitats, s'ha de:

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {i} \ Y=y)=1.\;}$

Cas continu

De forma semblant que per a les variables aleatòries discretes, la funció de densitat de probabilitat conjunta es pot escriure com f _{X, Y} (x, y) tenint :

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;}$

a on ${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}$ i ${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$ donen la distribució condicional de ${\displaystyle Y}$ donat ${\displaystyle X=x}$ i de ${\displaystyle X}$ donat ${\displaystyle Y=y}$ respectivament, i ${\displaystyle f_{X}(x)}$ i ${\displaystyle f_{Y}(y)}$ donada la distribució marginal per X i Y respectivament.

De nou, donat que són distribucions de probabilitat:

${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx=1.}$

Vegeu també

• xarxa bayesiana