![Infotaula distribució de probabilitat](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Probstats2.svg/22px-Probstats2.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/F-distribution_pdf.svg/325px-F-distribution_pdf.svg.png) |
Funció de distribució de probabilitat ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/F_dist_cdf.svg/325px-F_dist_cdf.svg.png) |
Tipus | Distribució F no central ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Epònim | Ronald Aylmer Fisher i George Snedecor ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Paràmetres | d1, d₂ > 0 graus de llibertat |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in (0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a84264a320783309b0360b749207851a58f148a) |
---|
fdp | x>0 |
---|
FD | ![{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),\quad x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9503e4f634afea7191d96536c75e7af230dcf0) |
---|
Esperança matemàtica | , per d₂ > 2 |
---|
Moda | , per d1 > 2 |
---|
Variància | per d₂ > 4 |
---|
Coeficient de simetria | d₂ > 6 |
---|
FGM | No existeix |
---|
EOM | Fisher-F-distribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Mathworld | SnedecorsF-Distribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.[1]
Definició, funció de densitat i funció de distribució
Sigui
i
, independents, amb
i
. La variable aleatòria
![{\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88511fd6433e81d3e0044edd5b5d3658111e6c7)
es diu que segueix una distribució
![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
amb
![{\displaystyle d_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cccb5a6a2f1acab4ca255e0be86c224ed82282a)
i
![{\displaystyle d_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9276f8f68c5c23329de74ad76e69f6801358fb1f)
graus de llibertat.. S'escriu
![{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd51a1dc4055f2e0199dae2c7d01ee48d81aab41)
.
La seva funció de densitat és
![{\displaystyle f(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}x+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}},\quad x>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c9a86c2b65728e01eec19579e0d95bc1eb1853)
on
![{\displaystyle B(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374a70e181eb94295f799038c2d3b81fbbef12ea)
és la
funció beta.
La funció de distribució per a
es pot escriure
![{\displaystyle F(x)=I_{m(x)}(d_{1}/2,\,d_{2}/2),\quad {\text{amb}}\quad m(x)={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e72e55d60c95f6ff28414cbcfdb2abd5389e4a9)
on
![{\displaystyle I_{\alpha }(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895a59969d7c818fee9e80a902673ee9eedf6207)
és una
funció beta incompleta regularitzada. Per a
![{\displaystyle x<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4dbbf970b2d2863dcab589eafe006f08e727d7)
,
![{\displaystyle F(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2781b2fdf803ec83ee7e8a41a54bf1877b4d84f)
.
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució
és quan el nombre
de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de
variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució
que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu
, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució.[2] En conseqüència, pot definir-se la distribució
amb graus de llibertat qualsevol nombres
.
Càlcul de la funció de densitat
Comencem buscant la funció de densitat de
![{\displaystyle G={\frac {S_{1}}{S_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd447ea8582c629499c6fd07e64c57fbed3141f)
Amb aquest objectiu, considerarem el canvi
![{\displaystyle (S_{1},S_{2})\mapsto (G,S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a275f70c64692ad6ac4115104a0c576b7e16ac4)
i després buscarem la marginal de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
. Per la independència de
![{\displaystyle S_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9)
i
![{\displaystyle S_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f)
, la densitat conjunta del vector
![{\displaystyle (S_{1},S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b814c6cc45b26e2a51d30b53b77f676ed710600)
és el producte de les densitats d'aquestes dues variables:
![{\displaystyle f_{(S_{1},S_{2})}(u,v)=Cu^{d_{1}/2-1}\,v^{d_{2}/2-1}e^{-(u+v)/2},\quad u>0,\,v>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4e8c480123af6b80847a471231899e33386d28)
on
![{\displaystyle C={\frac {2^{-(d_{1}+d_{2})/2}}{\Gamma (d_{1}/2)\Gamma (d_{2}/2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927eb2a87d30a931b5e9571bbb539abfab4eb0d2)
Considerem l'aplicació
![{\displaystyle h:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3306260ba3b111f343f360f0daeac2971f3aecf)
donada per
![{\displaystyle h(u,v)={\bigg (}{\frac {u}{v}},\,v{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f939cfe7cdb53d0076275802ccb889b2aff55d)
que és bijectiva. La inversa és
![{\displaystyle g=h^{-1}:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8f3a69bffe23550df9aad5bcc54b9e989bed34)
,
![{\displaystyle g(x,v)=(xv,v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec25c233d49abb2aa923757007fcf70307d6e40)
El determinant jacobià de
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
és
![{\displaystyle J_{g}=v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc358ef6a4f65427d10818a71b405de8d63b213)
. Llavors, la funció de densitat de
![{\displaystyle (G,S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1097308f388b983e84b7da22d6a1d3716dc8bac3)
(vegeu l'apartat de funcions d'un vector aleatori amb densitat de la pàgina Vector aleatori) és
![{\displaystyle f_{(G,S_{1})}(x,v)=Cx^{d_{1}/2-1}v^{(d_{1}+d_{2})/2-1}e^{-v(1+x)/2},\quad x>0,\,v>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f9721907a8b9e22831904416196134a89b058c)
Per tant,
![{\displaystyle f_{G}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{G,S_{1}}(x,v)\,dv=Cx^{d_{1}/2-1}\int _{0}^{\infty }v^{(d_{1}+d_{2})/2}e^{-v(1+x)/2}\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc919dac15c5684dc0cd823f478da6d43074b991)
La integral de la dreta es pot calcular mitjançant la
funció gamma i, canviant
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
pel seu valor, s'obté
![{\displaystyle f_{G}(x)={\frac {1}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(1+x)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ed6c3984697b907ca531f98e8ef0c665b7703a)
Finalment, per calcular la densitat de
![{\displaystyle X={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7f748b6ecb1808b7b0a4eb021c6da39307a7c4)
s'utilitza que si
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
és una variable aleatòria amb funció de densitat
![{\displaystyle f_{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8b3fed56c8af1f38961f6e4ec0d64fe50ecb4d)
, llavors la densitat de la variable
![{\displaystyle R=aY}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa33a75a264b3578a7ed82841ea0e61a6354ebee)
, amb
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9)
, és
![{\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{a}}f_{Y}{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79720b3e092a62e094c8ca66762bb2e73684a2)
Càlcul de la funció de distribució
Per a
![{\displaystyle x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a)
tenim
![{\displaystyle F(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}\,d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}t+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86fafa9819ee70cba8c5ce4938e1ea5961d1bb2)
En aquesta integral es fa el canvi
![{\displaystyle t={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,{\frac {y}{1-y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c5e750e2ece4cecf11d1a56a7f15251455ea08)
i s'obté una integral del tipus funció beta.
Funció característica
Phillips [3] dóna la següent expressió de la funció característica de
:
![{\displaystyle \varphi (t)={\frac {\Gamma {\big (}(d_{1}+d_{2})/2{\big )}}{\Gamma (d_{2}/2)}}\,U{\bigg (}{\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},it{\frac {d_{2}}{d_{1}}}{\bigg )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0197ad17c5aadbe051e1ed273fb83a4ceeef3f68)
on
![{\displaystyle U(a,b,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2c707aeb7ac94648e33f3e3cb4b02fa9e18b21)
és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe.
[4] Vegeu Johnson et al.
[1] per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.
Moments
Sigui
. Llavors
té moment d'ordre
si i només si
. En aquest cas,
![{\displaystyle E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)\,\Gamma (d_{2}/2-n)}{\Gamma (d_{1}/2)\,\Gamma (d_{2}/2)}}={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {d_{1}(d_{1}+2)\cdots (d_{1}+2n-2)}{(d_{2}-2)(d_{2}-4)\cdots (d_{2}-2n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3336f1fb0120f807ea053d63f7f5991a177a5e)
En particular, si
![{\displaystyle d_{2}>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8becc7f9a26666a2faee158c209dba7b42c4b66)
, llavors
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
te esperança i val
![{\displaystyle E[X]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f778336f07ddd3a041d3df6210d77f5392bd4af)
Si
![{\displaystyle d_{2}>4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1102915ed0508d2dc5afe5bd440e7dfad0249887)
,
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
te moment de 2n ordre
![{\displaystyle E[X^{2}]={\frac {d_{2}^{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-2)(d_{2}-4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde8a76fa0b914e164d756b5ffc68b84cd977c3e)
i
![{\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbec4a05e13cac52baf1316378d903d88bd5e952)
Prova
Atès que
![{\displaystyle S_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9)
i
![{\displaystyle S_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f)
són positives i independents, tenim que
![{\displaystyle E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}E[S_{1}^{n}]\,E[S_{2}^{-n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93152168f4753cc98c2e3ac69c19ebb316d0e8d)
D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat,
![{\displaystyle E[S_{1}^{n}]=2^{n}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)}{\Gamma (d_{1}/2)}}.\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d224b8961006cf365ad94736941afbfa4a9b5efa)
D'altra banda,
![{\displaystyle E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\,\Gamma (d_{2}/2)}}\int _{0}^{\infty }x^{d_{2}/2-n-1}e^{-x/2}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d207e3d4d82b7032b25e88565da8d5a314754b15)
La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si
![{\displaystyle n<d_{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267f452b09d14a92cb03925c81ff5888bf8d839c)
, tenim que
![{\displaystyle E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\Gamma (d_{2}/2)}}\,{\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{(1/2)^{d_{2}/2-n}}}={\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{2^{n}\Gamma (d_{2}/2)}}.\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92167c34ab1324fd8b259e62ec573745a0034504)
Si
![{\displaystyle n\geq d_{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31686a42e7c892c9e751911020e7cf62eefe09cb)
, aleshores la integral val infinit. Quan
![{\displaystyle n<d_{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267f452b09d14a92cb03925c81ff5888bf8d839c)
ajuntant (1) i (2) s'obté el resultat.
Entropia
![{\displaystyle h=\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd44aa9693e6bcde688f4b68473e2b8a1175a6fe)
on
![{\displaystyle \psi (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c02965f8dd8bfe2c0352b07c1193b8dc276c1d8)
és la
funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.
[5] Referències
- ↑ 1,0 1,1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chap. 27». A: Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994, p. 417. ISBN 0-471-58495-9.
- ↑ Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264 JSTOR 2335882
- ↑ National Institute of Standards and Technology. «Formula 13.4.4». A: Olver, F. W., Lozier, D., Boisvert R., Clark, C. W.. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge New York Melbourne: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-14063-8.
- ↑ Lazo, A.V.; Rathie, P. «On the entropy of continuous probability distributions». IEEE Transactions on Information Theory. IEEE, 24, 1978, pàg. 120–122. DOI: 10.1109/tit.1978.1055832.
Vegeu també
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|