Plocha

Tento článek je o geometrické ploše. O pracovní ploše v počítači pojednává článek Desktopové prostředí.

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického tělesa.

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} ,

kde F {\displaystyle F} je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce F {\displaystyle F} má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0}

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

x = x ( u , v ) {\displaystyle x=x(u,v)}
y = y ( u , v ) {\displaystyle y=y(u,v)}
z = z ( u , v ) {\displaystyle z=z(u,v)}

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž u , v {\displaystyle u,v} jsou parametry plochy. Každou dvojici u , v {\displaystyle u,v} z určitého oboru Ω {\displaystyle \Omega } nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na Ω {\displaystyle \Omega } spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle u {\displaystyle u} a v {\displaystyle v} .

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} ,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy n {\displaystyle \mathbf {n} } , rádiusvektorem r {\displaystyle \mathbf {r} } a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou r = r ( u , v ) {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)} uvést v různých tvarech.

ikona
Tento článek potřebuje úpravy.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů n {\displaystyle \mathbf {n} } a r {\displaystyle \mathbf {r} } .

∂ n ∂ u = F M − G L E G − F 2 ∂ r ∂ u + F L − E M E G − F 2 ∂ r ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}
∂ n ∂ v = F N − G M E G − F 2 ∂ r ∂ u + F M − E N E G − F 2 ∂ r ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}
∂ r ∂ u = M F − N E L N − M 2 ∂ n ∂ u + M E − L F L N − M 2 ∂ n ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}={\frac {MF-NE}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {ME-LF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}
∂ r ∂ v = M G − N F L N − M 2 ∂ n ∂ u + M F − L G L N − M 2 ∂ n ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}={\frac {MG-NF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {MF-LG}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}

kde E , F , G {\displaystyle E,F,G} jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L , M , N {\displaystyle L,M,N} jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru r {\displaystyle \mathbf {r} } .

∂ 2 r ∂ u 2 = G ∂ E ∂ u − 2 F ∂ F ∂ u + F ∂ E ∂ v 2 ( E G − F 2 ) ∂ r ∂ u + − F ∂ E ∂ u + 2 E ∂ F ∂ u − E ∂ E ∂ v 2 ( E G − F 2 ) ∂ r ∂ v + L n {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u^{2}}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial u}}-2F{\frac {\partial F}{\partial u}}+F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {-F{\frac {\partial E}{\partial u}}+2E{\frac {\partial F}{\partial u}}-E{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+L\mathbf {n} }
∂ 2 r ∂ u ∂ v = G ∂ E ∂ v − F ∂ G ∂ u 2 ( E G − F 2 ) ∂ r ∂ u + E ∂ G ∂ u − F ∂ E ∂ v 2 ( E G − F 2 ) ∂ r ∂ v + M n {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u\partial v}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial v}}-F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial u}}-F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+M\mathbf {n} }
∂ 2 r ∂ v 2 = − F ∂ G ∂ v + 2 G ∂ F ∂ v − G ∂ G ∂ u 2 ( E G − F 2 ) ∂ r ∂ u + E ∂ G ∂ v − 2 F ∂ F ∂ v + F ∂ G ∂ u 2 ( E G − F 2 ) ∂ r ∂ v + N n {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial v^{2}}}={\frac {-F{\frac {\partial G}{\partial v}}+2G{\frac {\partial F}{\partial v}}-G{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial v}}-2F{\frac {\partial F}{\partial v}}+F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+N\mathbf {n} }

kde E , F , G {\displaystyle E,F,G} jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L , M , N {\displaystyle L,M,N} jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu E , F , G {\displaystyle E,F,G} a základními veličinami plochy druhého řádu L , M , N {\displaystyle L,M,N} .

( E G − 2 F 2 + G E ) ( ∂ L ∂ v − ∂ M ∂ u ) − ( E N − 2 F M + G L ) ( ∂ E ∂ v − ∂ F ∂ u ) + | E ∂ E ∂ u L F ∂ F ∂ u M G ∂ G ∂ u N | = 0 {\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial E}{\partial v}}-{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial u}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial u}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial u}}&N\end{vmatrix}}=0}
( E G − 2 F 2 + G E ) ( ∂ M ∂ v − ∂ N ∂ u ) − ( E N − 2 F M + G L ) ( ∂ F ∂ v − ∂ G ∂ u ) + | E ∂ E ∂ v L F ∂ F ∂ v M G ∂ G ∂ v N | = 0 {\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial v}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial v}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial v}}&N\end{vmatrix}}=0}

Vlastnosti

( ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial u}}\\{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}\end{pmatrix}}}

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost h = 2 {\displaystyle h=2} jsou regulárními body. Je-li hodnost matice h < 2 {\displaystyle h<2} , pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v Ω {\displaystyle \Omega } nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost h = 2 {\displaystyle h=2} , pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

Externí odkazy

Autoritní data Editovat na Wikidatech
  • LCCN: sh00005762
  • NDL: 00567234
  • NLI: 987007292879305171