Loi de Burr

Loi de Burr
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle c>0\!}$ ${\displaystyle k>0\!}$
Support	${\displaystyle x>0\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$
Espérance	${\displaystyle k\operatorname {B} (k-1/c,\,1+1/c)}$ où B est la fonction bêta
Médiane	${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
Mode	${\displaystyle \left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}}$
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En théorie des probabilités, en statistique et en économétrie, la loi de Burr, loi de Burr de type XII, loi de Singh-Maddala, ou encore loi log-logistisque généralisée est une loi de probabilité continue dépendant de deux paramètres réels positifs c et k. Elle est communément utilisée pour étudier les revenus des ménages.

Si X suit une loi de Burr (ou Singh-Maddala), on notera ${\displaystyle X\sim SM(c,k)}$.

Caractérisation

La densité de probabilité de la loi de Burr est donnée par^[1],[2] :

${\displaystyle f(x;c,k)={\begin{cases}ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

et sa fonction de répartition est :

${\displaystyle F(x;c,k)={\begin{cases}1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Lien avec d'autres distributions

• Si ${\displaystyle c=1}$, la loi de Burr est la Distribution de Pareto.
• Si ${\displaystyle k=1}$, la loi de Burr est la loi log-logistique.
• Si ${\displaystyle k\to +\infty }$, la loi de Burr est la loi de Weibull.

Références

• (en) I. W. Burr, « Cumulative frequency functions », Annals of Mathematical Statistics, vol. 13, n^o 2,‎ 1942, p. 215–232 (DOI 10.1214/aoms/1177731607, lire en ligne).
• (en) R. N. Rodriguez, « A guide to Burr Type XII distributions », Biometrika, vol. 64,‎ 1977, p. 129–134

Voir également

Articles connexes

• loi de Dagum, également connue comme la loi de Burr inversée.
• Système de Burr, qui répertorie les autres types de lois de Burr

• Portail des probabilités et de la statistique